Dérivée de la fonction inverse

On considère la fonction inverse \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).

1. Calculer le taux de variation de la fonction \(f\) entre \(1\) et \(2\).
2. Calculer le taux de variation de la fonction \(f\) entre \(-5\) et \(-3\).
3. Calculer le taux de variation de la fonction \(f\) entre \(\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{1}{2}\).
4. Soit \(h\) un réel non nul et supérieur à \(-2\).
    a. Démontrer que le taux de variation de la fonction \(f\) entre \(2\) et \(2+h\) est égal à \(\dfrac{-1}{2(2+h)}\).
    b. En déduire la valeur de \(f'(2)\). 
5. Soit \(x\) un réel strictement positif et \(h\) un réel non nul tel que \(x+h > 0\).
    a. Calculer le taux de variation de la fonction \(f\) entre \(x\) et \(x+h\).
    b. En déduire l'expression de \(f'(x)\) sur \(]0~;+\infty[\).
6. Déterminer l'expression de \(f'(x)\) sur \(]-\infty~;0[\) en suivant les mêmes étapes de la question 5. Que peut-on en déduire concernant la dérivabilité de la fonction inverse ?